1、通用模板

PR 多项式环的引用

定义多项式变量为x

Zmod(N) 模N的整数环

PolynomialRing() 多项式环，系数来自Zmod(N)

X 根的上界

beta 因子的相对大小

epsilon 精度控制

Shift 移动位数

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from sage.all import *

def coppersmith_general(n, known_part, unknown_bits, shift=0, beta=0.5, epsilon=0.05):
    """
    通用Coppersmith模板
    
    n: 模数
    known_part: 已知的部分
    unknown_bits: 未知的位数
    shift: 未知部分在数中的位置（左移位数）
    beta: 根的大小比例
    epsilon: 精度参数
    """
    PR.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
    
    # 构建多项式：f(x) = known_part * 2^shift + x
    f = known_part * (2^shift) + x
    
    # 求小根
    X = 2^unknown_bits  # 根的上界
    roots = f.small_roots(X=X, beta=beta, epsilon=epsilon)
    
    return roots

# 使用示例
def solve_rsa_partial_p(n, partial_p, missing_bits):
    """已知p的高位，求完整p"""
    roots = coppersmith_general(n, partial_p, missing_bits, shift=missing_bits)
    
    if roots:
        p = partial_p * (2^missing_bits) + roots[0]
        return p
    return None

def solve_rsa_partial_d(n, e, partial_d, unknown_bits):
    """已知d的低位，求完整d"""
    # 这里需要更复杂的多项式构造
    # 通常是基于: e*d = 1 + k*phi(n)
    pass

2、常见问题下的模板

（1）已知p的高位

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def known_p_high_bits(n, p_high, unknown_bits):
    """已知p的高位"""
    PR.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
    f = p_high * (2^unknown_bits) + x
    roots = f.small_roots(X=2^unknown_bits, beta=0.5)
    return roots[0] if roots else None

（2）已知p的低位

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def known_p_low_bits(n, p_low, unknown_bits):
    """已知p的低位"""
    PR.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
    f = x * (2^(p_low.bit_length())) + p_low
    roots = f.small_roots(X=2^unknown_bits, beta=0.5)
    return roots[0] if roots else None

（3）已知m的高位

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def franklin_reiter(n, e, c1, c2, delta_m, known_m):
    """Franklin-Reiter相关消息攻击"""
    PR.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
    f1 = (known_m + x)^e - c1
    f2 = (known_m + delta_m + x)^e - c2
    g = gcd(f1, f2)
    return -g.monic().coefficients()[0]

3.beta

（1）beta含义

Ⅰ.模p为0

$$若n有一个未知因子p，满足p \geq n^ \beta(0<\beta \leq 1)$$

在Coppersmith攻击中，beta参数表示我们期望找到的因子(p)的大小相对于模数N的大小。

· beta = 0.5：期望找到的因子p ≈ N^0.5（对于RSA来说，p和q通常都是N^0.5量级）

· beta < 0.5：期望找到的因子比N^0.5小

· beta > 0.5：期望找到的因子比N^0.5大

Ⅱ.模n为0

$$x<n^{beta/k},其中k为多项式的最大次数$$

（2）为什么要调整beta

  1. 安全边际：理论边界是beta=0.5，但实际计算中由于数值精度和算法实现的限制，通常需要设置一个安全边际
  2. 算法稳定性：较小的beta值使Coppersmith方法更稳定，更容易收敛

4.epsilon

（1）epsilon的基本作用

epsilon控制着Coppersmith方法中格的维度和搜索范围：

  • 较小的epsilon → 更大的格维度 → 更强的攻击能力但更慢
  • 较大的epsilon → 更小的格维度 → 更快的计算但攻击能力较弱

（2）一般来说

  1. · 未知位数 < 64位：epsilon=0.05-0.1

  2. · 未知位数 64-128位：epsilon=0.03-0.07

  3. · 未知位数 > 128位：epsilon=0.01-0.05

(以512bit的p为例)

当beta=0.4时，在未知位数少于等于227bit时，可以恢复p

当beta=0.4,epsilon=0.01时，在未知位数少于等于248bit时，可以恢复p